[洛谷P1993] 小K的农场 解题报告

题目描述

小K在MC里面建立很多很多的农场，总共n个，以至于他自己都忘记了每个农场中种植作物的具体数量了，他只记得一些含糊的信息（共m个），以下列三种形式描述：

农场a比农场b至少多种植了c个单位的作物，
农场a比农场b至多多种植了c个单位的作物，
农场a与农场b种植的作物数一样多。
但是，由于小K的记忆有些偏差，所以他想要知道存不存在一种情况，使得农场的种植作物数量与他记忆中的所有信息吻合。

输入输出格式

输入格式：

第一行包括两个整数 n 和 m，分别表示农场数目和小 K 记忆中的信息数目。

接下来 m 行：

如果每行的第一个数是 1，接下来有 3 个整数 a,b,c，表示农场 a 比农场 b 至少多种植了 c 个单位的作物。

如果每行的第一个数是 2，接下来有 3 个整数 a,b,c，表示农场 a 比农场 b 至多多种植了 c 个单位的作物。如果每行的第一个数是 3，接下来有 2 个整数 a,b，表示农场 a 种植的的数量和 b 一样多。

输出格式：

如果存在某种情况与小 K 的记忆吻合，输出“Yes”，否则输出“No”。

输入输出样例

input

3 3
3 1 2
1 1 3 1
2 2 3 2

output

Yes

说明

对于 100% 的数据保证：1 ≤ n，m，a，b，c ≤ 10000。

解法:

这是一道差分约束的模版(可能吧)题。
不难发现，其中给的条件就是满足图中的三角形不等式。
所以可以这样建边：

1. $a-b \geq c$，建边 $w[b,a]=c$（表示a比b大c）

2. $a-b \leq c$（即 $b \geq a-c$），建边 $w[a,b]=-c$（表示b比a小c，注意不能建边 $w[b,a]=c$，因为这和第一个约束冲突，反过来就好了）

3. $a=b$ 时，建边 $w[a,b]=w[b,a]=0$（表示a和b相等）

然后跑一遍最长路
为什么要跑最长路呢？？
因为如果最长路都不会产生矛盾，那么比这条路短的路径也一定满足！
就像：
a-b>=c1
a-b>=c2
a-b>=c3
那么a-b的最小值一定是c1,c2,c3中最大的那个！
强行类比一下，图中也应该是这样的！

如果产生正环则说明有矛盾。
比如：
a-b>=4;
b-c>=4;
c-a>=4;
3个式子相加，得0 >= 12;肯定不成立
建个图试一下，这个差分约束肯定无法满足，图中一定有正环！

另外，因为这个图不一定是联通的
所以需要一个超级原点
即从0向其他所有点连一个正向图和反向图，边权为0.

code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 50005
#define INF 23333333

int n,m;
struct Edge
{
    int from,to,dis;
}e[maxn];
int dis[maxn],vis[maxn];
int head[maxn],cnt;

inline void add(int u,int v,int w)
{
    e[++cnt].from=head[u];
    e[cnt].to=v;
    e[cnt].dis=w;
    head[u]=cnt;
}

bool spfa(int x)
{
    vis[x]=1;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].from)
    {
        int y=e[i].to;
        if(dis[y] < dis[x]+e[i].dis)
        {
            dis[y] = dis[x]+e[i].dis;
            if(vis[y]) return false;
            if(!spfa(y)) return false;
        }
    }
    vis[x]=0;
    return true;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int way,x,y,z;scanf("%d",&way);
        if(way==1) scanf("%d%d%d",&x,&y,&z),add(y,x,z);
        if(way==2) scanf("%d%d%d",&x,&y,&z),add(x,y,-z);
        if(way==3) scanf("%d%d",&x,&y),add(x,y,0),add(y,x,0);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        add(0,i,0);
        dis[i]=-INF;
    }
    if(!spfa(0)) printf("No\n");
    else printf("Yes\n");
    return 0;
}