[HAOI2007]理想的正方形 解题报告

题目描述

有一个ab的整数组成的矩阵，现请你从中找出一个nn的正方形区域，使得该区域所有数中的最大值和最小值的差最小。

输入输出格式

输入格式：

第一行为3个整数，分别表示a,b,n的值

第二行至第a+1行每行为b个非负整数，表示矩阵中相应位置上的数。每行相邻两数之间用一空格分隔。

输出格式：

仅一个整数，为ab矩阵中所有“nn正方形区域中的最大整数和最小整数的差值”的最小值。

input

5 4 2
1 2 5 6
0 17 16 0
16 17 2 1
2 10 2 1
1 2 2 2

output

1

思路：

这个题有一种很妙的处理方法。
先上代码：

for (int k = 2; k <= K; k++)
        for (int i = 0; i+1 < a; i++)
            for (int j = 0; j+1 < b; j++) {
                maxv[i][j] = max(grid[i][j], max(maxv[i+1][j+1], max(maxv[i+1][j], maxv[i][j+1])));
                minv[i][j] = min(grid[i][j], min(minv[i+1][j+1], min(minv[i+1][j], minv[i][j+1])));
            }
    int ans = INF;
    for (int i = 0; i <= a-n; i++)
        for (int j = 0; j <= b-n; j++)
            ans = min(ans, maxv[i][j]-minv[i][j]);

maxv,minv分别代表这个以i,j为左上角的长度为k的矩阵中最大于最小值分别是多少，grid代表这个数是多少，而循环最外面的k就是非常关键的一步啦。
每次循环可以将k的范围增加1.可以发现,每次k增大的时候,都会与k-1的值有关,所以k要放外面。这样处理，刚好可以将每个子矩阵的最大与最小值求出来。这是一种很妙的处理方法。至少在矩阵中。。

然而这样会T飞!!!

冷静分析一波
会发现，这样的复杂度太高了。而我们的目的是求矩阵的最大值和最小值，所以可以用一波ST表的思想
设MIn[i][j][k],Max[i][j][k]代表以I,j为左上角，大小为2k的矩阵中的最小值与最大值。

  while((1<<(t+1) <=k)) t++;//求出2的k次方的指数界限
for(int k=0;k < t;k++)
        for(int i=0;i+(1<<k)<n;i++)
            for(int j=0;j+(1<<k) < m;j++)
            {
                Max[i][j] = max(Max[i][j],max(Max[i+(1<<k)][j+(1<<k)],
                            max(Max[i+(1<<k)][j],Max[i][j+(1<<k)])));
                Min[i][j] = min(Min[i][j],min(Min[i+(1<<k)][j+(1<<k)],
                            min(Min[i+(1<<k)][j],Min[i][j+(1<<k)])));
            }

查询有点妙

inline int query(int x,int y)
{
    int nmin=INF,nmax=-INF;
    nmax=max(Max[x][y],max(Max[k+x-(1<<t)][y+k-(1<<t)],
                    max(Max[x-(1<<t)+k][y],Max[x][y-(1<<t)+k])));
    nmin=min(Min[x][y],min(Min[x-(1<<t)+k][y-(1<<t)+k],
                    min(Min[x-(1<<t)+k][y],Min[x][y-(1<<t)+k])));
    return nmax-nmin;
}

因为(1<<t) <= 2k
所以x-(1<<t)+k是为了保证查询范围可以被完全覆盖。
可以自己举一个K为奇数的例子模拟一下

完整代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 1005
#define maxm 10005
#define INF 1000000005

int n,m,k,t;
int a[maxn][maxn],Min[maxn][maxn],Max[maxn][maxn];
int ans;

inline int query(int x,int y)
{
    int nmin=INF,nmax=-INF;
    nmax=max(Max[x][y],max(Max[k+x-(1<<t)][y+k-(1<<t)],
                    max(Max[x-(1<<t)+k][y],Max[x][y-(1<<t)+k])));
    nmin=min(Min[x][y],min(Min[x-(1<<t)+k][y-(1<<t)+k],
                    min(Min[x-(1<<t)+k][y],Min[x][y-(1<<t)+k])));
    return nmax-nmin;
}

inline void start()
{
    for(int k=0;k < t;k++)
        for(int i=0;i+(1<<k)<n;i++)
            for(int j=0;j+(1<<k) < m;j++)
            {
                Max[i][j] = max(Max[i][j],max(Max[i+(1<<k)][j+(1<<k)],
                            max(Max[i+(1<<k)][j],Max[i][j+(1<<k)])));
                Min[i][j] = min(Min[i][j],min(Min[i+(1<<k)][j+(1<<k)],
                            min(Min[i+(1<<k)][j],Min[i][j+(1<<k)])));
            }
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<m;j++)
        {
            scanf("%d",&a[i][j]);
            Max[i][j]=Min[i][j]=a[i][j];
        }
    while((1<<(t+1) <=k)) t++; 
    start();
    ans=INF;
    for(int i=0;i<=n-k;i++)
        for(int j=0;j<=m-k;j++)
            ans=min(ans,query(i,j));
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}