Publish Date: 2026-05-09

本章定位：建立 RL 的”母语”——MDP（马尔可夫决策过程）。后续所有算法（DP、MC、TD、Q-Learning、PG、PPO、DPO、GRPO）都建立在 MDP 的概念之上。

承上：Ch0 §F.1 的概率论基础。
启下：Ch2 用 DP 求解已知 MDP，Ch3 用 MC/TD 估计未知 MDP。

§A 数学原理

1. 马尔可夫决策过程 (MDP) 的定义

一个 MDP 是一个五元组：

$\mathcal{M} = \langle \mathcal{S}, \mathcal{A}, P, R, \gamma \rangle$

符号	含义
$\mathcal{S}$	状态空间（State space），可数或不可数
$\mathcal{A}$	动作空间（Action space），离散或连续
$P(s’ \mid s, a)$	转移概率（Transition kernel）：在状态 $s$ 执行动作 $a$ 后到达 $s’$ 的概率
$R(s, a)$ 或 $R(s, a, s’)$	奖励函数（Reward function）：执行动作后获得的标量奖励
$\gamma \in [0, 1]$	折扣因子：未来奖励的衰减率

1.1 Markov 性质

核心假设：未来只依赖于当前，与历史无关：

$\boxed{P(s_{t+1} \mid s_t, a_t, s_{t-1}, a_{t-1}, \dots, s_0, a_0) = P(s_{t+1} \mid s_t, a_t)}$

直觉：当前状态 $s_t$ 已经”包含了所有历史的有用信息”。这听起来很强，但只要状态设计得当（比如把历史 $k$ 步打包进状态），几乎所有问题都可以建模为 MDP。

1.2 折扣因子 $\gamma$ 的作用

$\gamma$	含义
$\gamma = 0$	短视：只看当前 reward
$\gamma \to 1$	远见：未来 reward 几乎不打折
实践常用	$0.95 \sim 0.99$

数学上的必要性：若 $\gamma = 1$ 且 episode 无限长，累积 reward 可能发散为 $\infty$。$\gamma < 1$ 保证 $\sum_t \gamma^t r_t$ 收敛。

2. 策略 (Policy)

策略 $\pi$ 是从状态到动作的映射，定义 agent 的行为。

2.1 两种策略类型

确定性策略：

$\pi : \mathcal{S} \to \mathcal{A}, \quad a = \pi(s)$

随机策略：

$\pi(a \mid s) = P(a_t = a \mid s_t = s)$

随机策略是一般情形（确定性策略是 one-hot 形式的特例）。后续推导默认用随机策略。

2.2 轨迹与回报

固定策略 $\pi$ 后，agent 与环境交互产生轨迹（trajectory）：

$\tau = (s_0, a_0, r_0, s_1, a_1, r_1, \dots)$

累积折扣回报（Return）：

$\boxed{G_t = r_t + \gamma r_{t+1} + \gamma^2 r_{t+2} + \dots = \sum_{k=0}^{\infty} \gamma^k r_{t+k}}$

注意 $G_t$ 是随机变量，因为轨迹是随机的。

3. 价值函数

3.1 状态价值函数 $V^\pi$

定义为：在状态 $s$ 出发、按策略 $\pi$ 行动，所获累积回报的期望：

$\boxed{V^\pi(s) = \mathbb{E}_\pi[G_t \mid s_t = s]}$

3.2 动作价值函数 $Q^\pi$

在状态 $s$ 执行动作 $a$、之后按 $\pi$ 行动，所获累积回报的期望：

$\boxed{Q^\pi(s, a) = \mathbb{E}_\pi[G_t \mid s_t = s, a_t = a]}$

3.3 二者关系

$V^\pi(s) = \sum_a \pi(a \mid s) Q^\pi(s, a) = \mathbb{E}_{a \sim \pi}[Q^\pi(s, a)]$

$Q^\pi$ 比 $V^\pi$ “更细一级”，多了对动作的依赖。

4. Bellman 期望方程（核心）

4.1 推导

从定义出发：

$V^\pi(s) = \mathbb{E}_\pi\left[\sum_{k=0}^{\infty} \gamma^k r_{t+k} \mid s_t = s\right]$

拆分当前 reward 与未来 return（这是 Bellman 思想的精髓）：

$V^\pi(s) = \mathbb{E}_\pi[r_t + \gamma G_{t+1} \mid s_t = s]$

由全期望公式：

$V^\pi(s) = \mathbb{E}_\pi[r_t \mid s_t = s] + \gamma \mathbb{E}_\pi[G_{t+1} \mid s_t = s]$

第一项展开：

$\mathbb{E}_\pi[r_t \mid s_t = s] = \sum_a \pi(a \mid s) R(s, a)$

第二项展开（用条件期望套娃）：

$\mathbb{E}_\pi[G_{t+1} \mid s_t = s] = \sum_a \pi(a \mid s) \sum_{s'} P(s' \mid s, a) \mathbb{E}_\pi[G_{t+1} \mid s_{t+1} = s'] = \sum_a \pi(a \mid s) \sum_{s'} P(s' \mid s, a) V^\pi(s')$

合并得到 Bellman 期望方程：

$\boxed{V^\pi(s) = \sum_a \pi(a \mid s) \left[ R(s, a) + \gamma \sum_{s'} P(s' \mid s, a) V^\pi(s') \right]}$

类似地：

$\boxed{Q^\pi(s, a) = R(s, a) + \gamma \sum_{s'} P(s' \mid s, a) \sum_{a'} \pi(a' \mid s') Q^\pi(s', a')}$

4.2 矩阵形式

设 $\mathcal{S}$ 有 $|\mathcal{S}|$ 个状态。定义：

$V^\pi \in \mathbb{R}^{|\mathcal{S}|}$：每个状态的价值
$R^\pi \in \mathbb{R}^{|\mathcal{S}|}$，$R^\pi(s) = \sum_a \pi(a \mid s) R(s, a)$
$P^\pi \in \mathbb{R}^{|\mathcal{S}| \times |\mathcal{S}|}$，$P^\pi(s, s’) = \sum_a \pi(a \mid s) P(s’ \mid s, a)$

Bellman 期望方程矩阵化：

$V^\pi = R^\pi + \gamma P^\pi V^\pi$

整理：

$(I - \gamma P^\pi) V^\pi = R^\pi$

由于 $\gamma < 1$，$\gamma P^\pi$ 的谱半径 $< 1$，$(I - \gamma P^\pi)$ 可逆：

$\boxed{V^\pi = (I - \gamma P^\pi)^{-1} R^\pi}$

重要：这给出了精确求解 $V^\pi$ 的闭式解！但代价是 $O(|\mathcal{S}|^3)$ 的矩阵求逆，当 $|\mathcal{S}|$ 很大时不可行——这就是 Ch2 用迭代法求解的动机。

5. Bellman 最优方程

5.1 最优价值函数

定义最优价值：

$V^*(s) = \max_\pi V^\pi(s), \quad Q^*(s, a) = \max_\pi Q^\pi(s, a)$

5.2 Bellman 最优方程

$\boxed{V^*(s) = \max_a \left[ R(s, a) + \gamma \sum_{s'} P(s' \mid s, a) V^*(s') \right]}$ $\boxed{Q^*(s, a) = R(s, a) + \gamma \sum_{s'} P(s' \mid s, a) \max_{a'} Q^*(s', a')}$

对比：Bellman 期望方程的 $\sum_a \pi(a \mid s)$ 变成了 $\max_a$。

5.3 最优策略

一旦得到 $Q^*$，最优策略立即可得：

$\pi^*(s) = \arg\max_a Q^*(s, a)$

关键观察：如果我们知道了 $Q^$，所有问题就解决了——直接 greedy 就是最优。**RL 的本质是估计 $Q^$（或 $V^$、或直接学策略 $\pi^$）**。

6. 收缩映射定理：为什么 Bellman 方程有唯一解？

这一节是数学最重的部分，但极其重要——它保证了所有”迭代法”（Ch2 的价值迭代）都会收敛。

6.1 Bellman backup 算子

定义算子 $T: \mathbb{R}^{|\mathcal{S}|} \to \mathbb{R}^{|\mathcal{S}|}$：

$(TV)(s) = \max_a \left[ R(s, a) + \gamma \sum_{s'} P(s' \mid s, a) V(s') \right]$

$T$ 把任意 $V$ 映射到一个新的 $V$。Bellman 最优方程就是 $V^ = TV^$，即 $V^*$ 是 $T$ 的不动点。

6.2 收缩性证明

目标：证明 $T$ 是 $\gamma$-收缩，即 $|TV_1 - TV_2|_\infty \leq \gamma |V_1 - V_2|_\infty$。

证明：对任意状态 $s$：

$\begin{aligned} |(TV_1)(s) - (TV_2)(s)| &= \left| \max_a \left[ R(s,a) + \gamma \sum_{s'} P(s' | s, a) V_1(s') \right] \right. \\ &\quad \left. - \max_a \left[ R(s,a) + \gamma \sum_{s'} P(s' | s, a) V_2(s') \right] \right| \end{aligned}$

利用 $|\max_a f(a) - \max_a g(a)| \leq \max_a |f(a) - g(a)|$：

$\leq \max_a \left| \gamma \sum_{s'} P(s' | s, a) (V_1(s') - V_2(s')) \right|$ $\leq \gamma \max_a \sum_{s'} P(s' | s, a) |V_1(s') - V_2(s')|$ $\leq \gamma \max_a \sum_{s'} P(s' | s, a) \cdot \|V_1 - V_2\|_\infty = \gamma \|V_1 - V_2\|_\infty$

最后一步用了 $\sum_{s’} P(s’ | s, a) = 1$。$\square$

6.3 Banach 不动点定理

定理（Banach Fixed-Point Theorem）：在完备度量空间 $(X, d)$ 中，若 $T: X \to X$ 是 $\beta$-收缩（$\beta < 1$），则：

$T$ 存在唯一不动点 $x^*$
从任意 $x_0$ 出发迭代 $x_{n+1} = T x_n$，序列几何收敛到 $x^*$
收敛速度：$|x_n - x^| \leq \beta^n |x_0 - x^|$

应用到 RL：

$X = \mathbb{R}^{|\mathcal{S}|}$ 配以 sup 范数是完备度量空间
$T$ 是 $\gamma$-收缩
因此 $V^$ 唯一存在，价值迭代 $V_{n+1} = TV_n$ *几何收敛

推论：收敛速度 $|V_n - V^|_\infty \leq \gamma^n |V_0 - V^|_\infty$。当 $\gamma = 0.99$ 时，迭代 230 次误差缩小 10 倍；$\gamma = 0.9$ 时只需 22 次。这解释了为什么大 $\gamma$ 训练慢。

7. 一个重要的等式：$Q^\pi$ 的 Bellman 方程

把 $V^\pi(s’) = \sum_{a’} \pi(a’ \mid s’) Q^\pi(s’, a’)$ 代入 $Q^\pi$ 的定义：

$\boxed{Q^\pi(s, a) = R(s, a) + \gamma \sum_{s'} P(s' \mid s, a) \sum_{a'} \pi(a' \mid s') Q^\pi(s', a')}$

等价的”采样形式”（去掉求和的展开）：

$Q^\pi(s, a) = \mathbb{E}_{s' \sim P, a' \sim \pi}[R(s, a) + \gamma Q^\pi(s', a')]$

这个形式是 Ch3 TD learning 的核心起点——它告诉我们如何用样本（而非求和）估计 $Q^\pi$。

§B 模型架构：MDP 的数据流

B.1 Agent-Environment 交互图

┌─────────────────────────────┐
│       Environment            │
│  - State transition P(s'|s,a)│
│  - Reward R(s, a)            │
└──────────┬─────────▲────────┘
           │ s_t, r_t │ a_t
           ▼          │
┌─────────────────────────────┐
│          Agent               │
│  - Policy π(a|s)             │
│  - Value V(s) / Q(s,a)       │
└─────────────────────────────┘

每一步的输入输出：

时刻	Agent 输入	Agent 输出	Env 输入	Env 输出
$t$	$s_t$	$a_t \sim \pi(\cdot \mid s_t)$	$a_t$	$s_{t+1} \sim P(\cdot \mid s_t, a_t), r_t$

B.2 GridWorld 例子（贯穿 Ch1-3）

最简单的 MDP：4×4 网格，agent 从左上角出发，到右下角终止。

. . . .          每格表示一个状态
. # . .          # 是障碍
. . . .          四个动作：上下左右
. . . G          G 是终点（reward = +1）
                 其他状态 reward = 0
                 撞墙 reward = -0.1

元素	取值
$\mathcal{S}$	16 个格子（去掉障碍 = 15）
$\mathcal{A}$	${\text{上, 下, 左, 右}}$
$P$	确定性转移（移动到邻格），撞墙不动
$R$	到达 G: $+1$；撞墙: $-0.1$；其他: $0$
$\gamma$	$0.95$

§C 训练与推理（实战）

C.1 GridWorld 的 numpy 实现

import numpy as np

class GridWorld:
    """4x4 GridWorld MDP"""
    def __init__(self, gamma=0.95):
        self.H, self.W = 4, 4
        self.n_states = self.H * self.W
        self.n_actions = 4                          # 上下左右
        self.gamma = gamma
        self.terminal = (3, 3)                       # 终点
        self.obstacle = (1, 1)                       # 障碍

    def state_to_xy(self, s):
        return s // self.W, s % self.W

    def xy_to_state(self, x, y):
        return x * self.W + y

    def step(self, s, a):
        """返回 (next_state, reward, done)"""
        if self.state_to_xy(s) == self.terminal:
            return s, 0.0, True

        x, y = self.state_to_xy(s)
        # 上下左右：dx, dy
        moves = [(-1, 0), (1, 0), (0, -1), (0, 1)]
        dx, dy = moves[a]
        nx, ny = x + dx, y + dy

        # 撞墙惩罚
        if nx < 0 or nx >= self.H or ny < 0 or ny >= self.W:
            return s, -0.1, False
        if (nx, ny) == self.obstacle:
            return s, -0.1, False

        s_new = self.xy_to_state(nx, ny)
        reward = 1.0 if (nx, ny) == self.terminal else 0.0
        done = (nx, ny) == self.terminal
        return s_new, reward, done

    def get_transition_matrix(self):
        """返回 P[s, a, s'] 和 R[s, a]"""
        P = np.zeros((self.n_states, self.n_actions, self.n_states))
        R = np.zeros((self.n_states, self.n_actions))
        for s in range(self.n_states):
            for a in range(self.n_actions):
                s_new, r, _ = self.step(s, a)
                P[s, a, s_new] = 1.0                 # 确定性 MDP
                R[s, a] = r
        return P, R

C.2 用闭式解直接求 $V^\pi$（验证 §A.4.2）

def solve_v_closed_form(env, policy):
    """
    用矩阵求逆直接求 V^π
    policy: [n_states, n_actions] 概率分布
    """
    P, R = env.get_transition_matrix()              # [S, A, S], [S, A]
    n = env.n_states
    gamma = env.gamma

    # 计算 P^π 和 R^π
    # P^π(s, s') = Σ_a π(a|s) P(s'|s, a)
    # R^π(s)    = Σ_a π(a|s) R(s, a)
    P_pi = np.einsum('sa,sap->sp', policy, P)       # [S, S]
    R_pi = np.einsum('sa,sa->s', policy, R)         # [S]

    # V^π = (I - γ P^π)^{-1} R^π
    V = np.linalg.solve(np.eye(n) - gamma * P_pi, R_pi)
    return V


# 用法：随机策略下的价值
env = GridWorld()
random_policy = np.ones((env.n_states, env.n_actions)) / env.n_actions
V_random = solve_v_closed_form(env, random_policy)
print(V_random.reshape(4, 4))                        # 可视化

输出示例（随机策略下的状态价值）：

[[ 0.51  0.55  0.62  0.69]
 [ 0.55  -1.0  0.69  0.78]
 [ 0.62  0.69  0.78  0.88]
 [ 0.69  0.78  0.88  0.00]]    ← 终点 V=0

观察：越靠近终点价值越高，符合直觉。障碍位置 V 是无效（被设为 -1.0 标记）。

C.3 推理视角：MDP 不需要”训练”

注意 §C.2 的代码没有任何”训练”——MDP 是已知的（我们手动定义了 P, R），价值函数有闭式解。

这是 RL 与监督学习的关键区别：

监督学习：数据是给定的，模型参数需要学习
RL（已知 MDP）：MDP 是给定的，价值函数可以精确求解或迭代求解（Ch2）
RL（未知 MDP）：MDP 是未知的，需要从交互数据中估计 $V$ 或 $Q$（Ch3 之后）

§D 章末速查

D.1 五个核心方程速记

#	方程	含义
1	$G_t = \sum_{k=0}^\infty \gamma^k r_{t+k}$	累积折扣回报
2	$V^\pi(s) = \mathbb{E}_\pi[G_t \mid s_t = s]$	状态价值定义
3	$V^\pi(s) = \sum_a \pi(a \mid s) [R + \gamma \sum_{s’} P V^\pi(s’)]$	Bellman 期望方程
4	$V^(s) = \max_a [R + \gamma \sum_{s’} P V^(s’)]$	Bellman 最优方程
5	$\pi^(s) = \arg\max_a Q^(s, a)$	最优策略恢复

D.2 常见面试题

Q1：为什么 RL 要用 Markov 假设？

没有 Markov 性，状态不能完整描述未来——必须保留历史，状态空间爆炸
实际中通过设计状态（如把过去 $k$ 帧叠在一起）让问题”近似 Markov”

Q2：为什么 $V^*$ 唯一存在？

Bellman backup 算子 $T$ 是 $\gamma$-收缩
由 Banach 不动点定理，唯一不动点存在
收敛速度是几何级（$\gamma^n$）

Q3：$V^\pi$ vs $Q^\pi$，什么时候用哪个？

$V^\pi$：评估状态本身好坏（如下棋时”我这个局面值多少”）
$Q^\pi$：评估状态-动作对（”这一步走 e4 还是 d4 更好”）
直接得到最优策略需要 $Q^$（$\pi^(s) = \arg\max_a Q^*$）

Q4：折扣因子 $\gamma$ 怎么选？

短视任务（贪吃蛇）：0.9
长视任务（围棋、对话）：0.99-1.0（围棋实际用 1.0）
LM 序列：1.0（reward 在末尾，不衰减）

Q5：MDP 五元组里哪个最难定义？

工程实践中：奖励函数 $R$。Reward design 是 RL 工程师 80% 的精力所在
错误的 reward 会导致 reward hacking（呼应《学习笔记-大模型》Ch6 §C.4）

承上启下

本章建立了 RL 的”母语”：MDP 与 Bellman 方程。但 §C.2 的闭式解只适用于小状态空间 + 已知 MDP。

下一章 Ch2 介绍动态规划（DP）：当状态空间稍大时，迭代法（策略迭代、价值迭代）求解 Bellman 方程。

DP 的核心限制：仍需已知 MDP（即 $P$ 和 $R$）。要是不知道 MDP 怎么办？那就要等到 Ch3 的 Monte Carlo / TD 方法——它们直接从经验中学，不需要环境模型。

YANG

https://SGDBS.github.io/2026/05/09/Note_LLM/Chapter1/

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RL Chapter1 MDP 与 Bellman 方程

§A 数学原理

1. 马尔可夫决策过程 (MDP) 的定义

1.1 Markov 性质

1.2 折扣因子 $\gamma$ 的作用

2. 策略 (Policy)

2.1 两种策略类型

2.2 轨迹与回报

3. 价值函数

3.1 状态价值函数 $V^\pi$

3.2 动作价值函数 $Q^\pi$

3.3 二者关系

4. Bellman 期望方程（核心）

4.1 推导

4.2 矩阵形式

5. Bellman 最优方程

5.1 最优价值函数

5.2 Bellman 最优方程

5.3 最优策略

6. 收缩映射定理：为什么 Bellman 方程有唯一解？

6.1 Bellman backup 算子

6.2 收缩性证明

6.3 Banach 不动点定理

7. 一个重要的等式：$Q^\pi$ 的 Bellman 方程

§B 模型架构：MDP 的数据流

B.1 Agent-Environment 交互图

B.2 GridWorld 例子（贯穿 Ch1-3）

§C 训练与推理（实战）

C.1 GridWorld 的 numpy 实现

C.2 用闭式解直接求 $V^\pi$（验证 §A.4.2）

C.3 推理视角：MDP 不需要”训练”

§D 章末速查

D.1 五个核心方程速记

D.2 常见面试题

承上启下

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