线性代数几何意义-矩阵乘法、行列式

前言

想写这个东西是因为看了3b1b的线性代数的本质，且学校之前教的线代就是歌姬吧，只会算数，不理解其含义，于是就想写点总结，方便自己复习，如果对这个内容感兴趣，还请看看完整的视频教程，这个博客可能会帮助你记忆。

向量含义

$\vec{A} = (x,y)$ 表示 $x \cdot i + y \cdot j$，其中 $i,j$ 分别为两个单位向量。

$\vec{A}$ 经过线性变换后（即对 $i,j$ 进行变化），那么变化后的 $\vec{A}$ 依然满足 $x \cdot i + y \cdot j$。

图片来自3b1b的视频

矩阵乘法

而一个 $2 \times 2$ 的矩阵其实就代表了一个线性变换：

$$\begin{bmatrix} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 \cdot x + x_2 \cdot y \\ y_1 \cdot x + y_2 \cdot y \end{bmatrix}$$

即，把单位向量 $i(1,0)$ 变为 $(x_1,y_1)$，$(0,1)$ 变为 $(x_2,y_2)$，$(x,y)$ 变化后的坐标。

矩阵相乘

而两个矩阵相乘，就表示两个线性变换的叠加。即，先进行右面矩阵的变化，再进行左面矩阵的变化。

行列式

事实上，行列式的值表示了经过线性变换后单位面积的放缩倍数，如果是负数，说明 $x,y$ 轴的顺逆时针关系发生了转化（比如 $x$ 顺时针 $90$ 度转到 $y$ 轴，变成了逆时针 $90$ 度）。

可以这么想象，原先的单位向量与原点相连形成的三角形面积是 $\frac{1}{2} \cdot (1,0) \times (0,1) = \frac{1}{2}$。

变换后

$$\begin{bmatrix} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{bmatrix}$$

向量终点与原点连接形成了一个三角形，用三角形面积公式可得

$$S = \frac{1}{2}(x_1 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1)$$

比较一下，这不正是行列式的求法吗？感性证明（确信）
同理，高阶行列式也是同样的含义，比如三阶行列式就是体积的变化。
具体的可以看下视频里的方法。