用Processing模拟布朗运动

布朗运动

介绍

布朗运动（英语：Brownian motion）是微小粒子或者颗粒在流体中做的无规则运动。布朗运动过程是一种正态分布的独立增量连续随机过程。它是随机分析中基本概念之一。其基本性质为：布朗运动W(t)是期望为0、方差为t（时间）的正态随机变量。对于任意的 $r$ 小于等于 $s$，$W(t)-W(s)$ 独立于 $W(r)$，且是期望为 $0$、方差为 $t-s$ 的正态随机变量。

模拟布朗运动的重点就在于W(t)是期望为0、方差为t（时间）的正态随机变量。

在一维的形式下，就是说只要时间足够长，它累计向左，向右的距离是相同的，二维、三维形式下也是如此。

思路

实际上，processing自带的函数 random 就可以实现这种操作，多次调用 random(-range, range) 产生的数，就满足平均数接近 $0$，产生的数之和满足正态分布。

即，令 $sum(x)$ 为产生的 $x$ 个随机数之和，那么 $sum(x)$ 服从正态分布 $N$。

这也就为什么不能用 noise 函数，因为 noise 产生的数本身就符合正态分布，它们之和不一定符合正态分布。

流程

代码

int num = 2000;
int range = 12;

float[] ax = new float[num];
float[] ay = new float[num]; 

void setup() 
{
    size(1920, 1080);
    for(int i = 0; i < num; i++) {
        ax[i] = width/2;
        ay[i] = height/2;
    }
    frameRate(30);
}

void oneStep()
{
    background(51);
    println("frameCount: "+frameCount);
    //Shift all elements 1 place to the left
    for(int i = 1; i < num; i++) {
        ax[i-1] = ax[i];
        ay[i-1] = ay[i];
    }

    // Put a new value at the end of the array
    ax[num-1] += random(-range, range);
    ay[num-1] += random(-range, range);

    // Constrain all points to the screen
    ax[num-1] = constrain(ax[num-1], 0, width);
    ay[num-1] = constrain(ay[num-1], 0, height);
  
  // Draw a line connecting the points
    for(int i=1; i<num; i++) {    
        float val = float(i)/num * 204.0 + 51;
        stroke(val);
        line(ax[i-1], ay[i-1], ax[i], ay[i]);
    }
}

void draw() 
{
    oneStep();
}